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정규분포는 어떻게 태어나는가
공식을 외우는 대신, 과녁에 활을 쏘는 것에서 시작한다. 두 가지 자연스러운 가정을 따라가다 보면 — 그 유명한 종 모양이 저절로 모습을 드러낸다.
박힐 확률은 오직 "중심에서의 거리"에만 달렸다
화살을 무작위로 쏜다. 가로로 빗나가는 정도와 세로로 빗나가는 정도가 서로 무관하다고만 가정하자. 화살이 쌓이면, 중심에서 같은 거리에 있는 곳은 방향과 상관없이 똑같은 밀도로 박힌다. 오른쪽 그래프에서 그 "거리의 함수"가 매끈하게 드러나는 걸 볼 수 있다.
왜 하필 e 와 제곱인가
여기가 심장이다. "가로·세로 오차가 독립"이고 "방향에 무관"이라는 두 가정만으로, 확률밀도가 지수함수일 수밖에 없음이 강제된다. 카드를 따라 단계별로 읽어보라.
오차의 분포는 세 가지를 만족해야 한다: (1) 중심에서 가장 높고, (2) 멀수록 낮아지고, (3) 좌우 대칭이다.
이 "대칭 + 가운데 최대"를 수식으로 담으면 x²이 들어가야 한다. x²은 부호를 없애 좌우 대칭을 만들고(왼쪽·오른쪽 똑같이), 0에서 최소이며 멀수록 커진다. 멀수록 낮아지려면 x²이 음의 지수로 들어가야 하므로 이런 꼴이 후보가 된다:
과녁에 화살을 쏴 빗나간 위치를 가로 오차 x, 세로 오차 y로 나타낸다. 두 가정을 세운다:
가정 A (독립) — 가로 오차와 세로 오차는 서로 무관하다. 독립이면 확률은 곱이므로:
가정 B (회전대칭) — 빗나간 정도는 방향과 무관하고 중심 거리에만 달렸다. 거리는 r = √(x²+y²)이므로 p는 x²+y²의 함수다:
두 가정을 합치면 이 방정식이 나온다:
이제 이 방정식이 지수함수를 강제한다. 네 단계로 유도한다:
(1) y = 0 대입. f(x)·f(0) = g(x²). f(0)=A로 두면:
→ g를 f로 표현했다. 사라졌던 g의 정체가 드러나기 시작한다.
(2) 도로 넣으면 g가 사라지고 f만의 방정식이 된다:
(3) 제곱이 걸리적거리니 치환한다. h(t) = f(√t)로 두면 f(x)=h(x²)이고, a=x², b=y²로 놓으면:
(4) 이것은 "덧셈을 곱셈으로 바꾸는 함수"다. 연속함수 중 이 성질을 가진 것은 지수함수뿐이다(코시 함수방정식). 따라서:
멀수록 작아져야 하니 c < 0. 즉 f(x) = e^{−k x²}.
(사라졌던 g의 정체: g(x²)=A·f(x)이고 f(x)=e^{−kx²}이므로 g(s)=A·e^{−ks}. g도 결국 같은 지수함수였다. 처음 두 식은 완벽히 일관된다.)
심장 e^(−kx²)을 구했으니 나머지는 쉽다.
μ (중심 이동): x 대신 (x−μ)를 넣으면 종의 꼭대기가 μ로 이동한다.
σ (폭 조절): k = 1/(2σ²)로 두면 σ가 종의 폭을 조절한다. σ가 크면 넓고 낮게, 작으면 좁고 뾰족하게.
앞 계수 1/(√(2π)σ): 확률분포는 전체 넓이가 1이어야 한다. 위 식만의 넓이는 √(2π)σ이므로, 그것으로 나눠 넓이를 1로 맞춘다. (√(2π)는 e^(−x²)의 넓이가 √π라는 유명한 결과에서 나온다.)
가운데 높고 대칭인 함수는 많다. 하지만 통과하는 건 하나뿐
종 모양처럼 생긴 함수는 여럿이다. 아래에서 하나씩 골라 비교해보라. 그런데 진짜 시험은 "같은 반지름 위의 점들에서 f(x)·f(y)가 일정한가"이다 — 회전대칭 조건. 지수함수만 이 시험을 통과한다.
확률이 되려면, 곡선 아래 넓이가 정확히 1이어야 한다
이제 μ와 σ를 움직이며 곡선이 이동하고 늘어나는 걸 본다. 곡선 아래 넓이를 실시간으로 적분해 표시한다. 앞 계수 1/(√(2π)σ)를 곱하면 — σ를 어떻게 바꿔도 넓이가 항상 1로 유지된다.