ANOVA는 평균 비교를 어떻게 분산의 비로 바꾸는가

같은 모집단에서 세 집단을 뽑으면

n=3000짜리 모집단을 만들어 두고, 거기서 세 집단을 표본으로 뽑는다. 셋 다 같은 모집단이니 진짜 평균은 모두 같다(귀무가 참). 이때 F가 어떻게 움직이는지 본다.

핵심은 두 흩어짐의 비다. 집단내(within)는 뭉치 안이 얼마나 퍼졌나, 집단간 (between)은 세 평균점이 얼마나 흩어졌나. 같은 모집단이면 평균점들도 노이즈로만 흩어지므로 둘의 비가 1 근처. "100회 자동"을 눌러 유의 비율이 약 5%에 머무는 걸 확인하라 — 이 5%가 t검정을 여러 번 할 때 14%까지 부풀던 위양성을 잡아준 것이다.

평균을 벌리면 F가 커진다 — 분산은 신호가 아니다

세 집단의 평균을 직접 밀어보고, 다음엔 평균을 같게 둔 채 공통 퍼짐만 키워보라. 무엇이 F를 움직이고 무엇이 안 움직이는지가 ANOVA의 정체다.

분산이 크게 다르면 ANOVA가 실패한다 → Welch로 복구

여기가 네가 궁금해한 지점이다. 세 평균을 모두 같게(귀무 참) 두고 집단 C의 분산만 키우면, ANOVA는 "분산이 다르다"고 말해주지 않는다 — 대신 p-value가 조용히 망가진다. 특히 큰 분산 집단의 표본이 작을 때. 실제로 몇 %나 잘못 기각하는지 2000번 돌려 세어 보자.

왜 이렇게 되는가, 그리고 함정

한 줄로 — χ²는 흔들리는 분산 추정치 하나를 고정 기준과, F는 그 추정치 둘을 서로 비교하고, ANOVA는 그 F로 집단간/집단내를 놓아 여러 평균이 같은지를 검정한다. 단, 그 비교가 성립하려면 분산이 비슷해야 한다 — 아니면 Welch로 간다.