F 분포는 무엇의 비율인가

F는 흔들리는 분산 추정치 둘의 비율

카이제곱을 봤다면 F는 거의 자동이다. 카이제곱을 자유도로 나누면 기댓값 1짜리 분산 추정치가 되고(E[χ²(k)]=k 니까), 유한 표본이라 1을 중심으로 흔들린다. F는 그 흔들리는 추정치 둘을 나눈 것이다.

여기까지가 핵심 재료다. 모집단 분산은 고정값이라 흔들리지 않는다. 흔들리는 것은 "유한 표본으로 낸 추정치"다. df가 작으면 크게, 크면 조금 흔들린다(df=1이면 Z² 하나뿐이라 0 근처에서 치솟는다 — 카이제곱 자료의 그 발산이다). 이제 이런 흔들리는 추정치를 둘 만들어 나눠보자.

둘을 나누면 F — 미지의 σ²는 약분된다

같은 모집단에서 나온 두 추정치라면 둘 다 같은 σ²를 재고 있으니, 비율은 σ²/σ² = 1 근처가 된다. 놀라운 점은 σ²가 얼마인지 몰라도 위아래에서 약분돼 사라진다는 것. 그래서 기준값을 몰라도 "둘이 같으냐"를 물을 수 있다.

두 분산이 같은가 — F 검정

가장 직접적인 쓰임. 두 그룹의 표본분산을 나눠(관례상 큰 쪽/작은 쪽 → F≥1) F 곡선 위에 찍고, 오른쪽 꼬리 넓이가 p-value다. 두 분산이 같으면 F≈1이라 꼬리가 넓고, 한쪽이 크면 F가 커져 꼬리가 좁아진다.

χ², t, 회귀, ANOVA와 한 가족

외웠던 표들이 왜 친척인지 — 전부 "흔들리는 분산"을 어떻게 조합하느냐의 차이다.

한 줄로 꿰면 — χ²는 흔들리는 분산 추정치 하나를 고정 기준과 비교, F는 그 추정치 둘을 서로 비교(미지의 σ²는 약분), ANOVA는 그 F로 그룹간/그룹내를 놓아 평균 차이를 분산의 비로 검출한다.